Định nghĩa và khái niệm Lý_thuyết_biểu_diễn

Gọi V là không gian vectơ trên trường F. Lấy ví dụ V là Rn hoặc Cn,[9] lần lượt là không gian chuẩn n-chiều của các vectơ cột trên trường số thực và số phức. Ý tưởng của lý thuyết biểu diễn là cụ thể hoá đại số trừu tượng trong ví dụ này bằng cách sử dụng ma trận vuông n × n của số thực hoặc số phức.

Có 3 loại cấu trúc đại số có thể được sử dụng: nhóm, đại số kết hợp, và đại số Lie:[4][19][8]

Khi tổng quát hoá cho mọi trường F và mọi không gian vectơ V trên F, ma trận được thay thế bằng ánh xạ tuyến tính và phép nhân ma trận được thay thế bằng hàm hợp: tồn tại 1 nhóm GL(V,F) là nhóm tự đẳng cấu của V, 1 đại số kết hợp EndF(V) của mọi phép tự đồng cấu trên V, và 1 đại số Lie gl(V,F) tương ứng.

Định nghĩa

Có 2 cách định nghĩa 1 biểu diễn. Cách thứ nhất dùng ý tưởng từ phép đồng cấu nhóm, tổng quát hoá thành phép nhân ma trận thể hiện sự tác dụng của ma trận lên vectơ cột. Một biểu diễn của 1 nhóm G hoặc đại số A (kết hợp hoặc Lie) trên không gian vectơ V là 1 ánh xạ:

Φ : G × V ↦ V {\displaystyle \Phi :{G}\times {V}\mapsto {V}} hoặc Φ : A × V ↦ V {\displaystyle \Phi :{A}\times {V}\mapsto {V}}

thoả mãn 2 tính chất. Thứ nhất, với mọi phần tử g trong G (hoặc a trong A), ánh xạ:

Φ ( g ) : V ↦ V {\displaystyle \Phi (g):{V}\mapsto {V}}

          v ↦ Φ ( g , v ) {\displaystyle v\mapsto \Phi (g,v)}

là tuyến tính (trên F). Thứ hai, nếu ký hiệu g · v thay cho Φ ( g , v ) {\displaystyle \Phi (g,v)} , thì với mọi phần tử g1, g2 trong G và v trong V:

( 1 ) {\displaystyle (1)} e ⋅ v = v {\displaystyle e\cdot {v}=v}
( 2 ) {\displaystyle (2)} g 1 ⋅ ( g 2 ⋅ v ) = ( g 1 g 2 ) ⋅ v {\displaystyle g_{1}\cdot {(g_{2}\cdot {}v)}=(g_{1}g_{2})\cdot {v}}

trong đó e là phần tử đơn vị của G và tích g1g2 là tích trong G. Điều kiện tương tự cho đại số kết hợp, ngoại trừ việc các đại số kết hợp không phải lúc nào cũng có phần tử đơn vị, nên phương trình (1) không được xét cho những trường hợp đó. Phương trình (2) là một biểu thức trừu tượng của tính kết hợp của phép nhân ma trận. Điều này không áp dụng cho hoán tử ma trận và cũng không có phần tử đơn vị cho giao hoán tử. Đo đó đói với đại số Lie, điều kiện cần duy nhất cho mọi a1, a2 trong A và v trong V là:

( 2 ′ ) {\displaystyle (2')} a 1 ⋅ ( a 2 ⋅ v ) − a 2 ⋅ ( a 1 ⋅ v ) = [ a 1 , a 2 ] ⋅ v {\displaystyle a_{1}\cdot {(a_{2}\cdot {v})}-a_{2}\cdot {(a_{1}\cdot {v})}=[a_{1},a_{2}]\cdot {v}}

trong đó [a1,a2] là hoán tử Lie, và có thể tổng quát hoá thành hoán tử ma trận MN-NM.Cách thử hai để định nghĩa 1 biểu diễn dựa vào ánh xạ Φ {\displaystyle \Phi } tạo ảnh là ánh xạ tuyến tính Φ ( g ) : V → V {\displaystyle \Phi (g):V\rightarrow {V}} của phần tử g trong G, thoả mãn:

φ ( g 1 g 2 ) = φ ( g 1 ) ∘ φ ( g 2 ) {\displaystyle \varphi (g_{1}g_{2})=\varphi (g_{1})\circ \varphi (g_{2})} với mọi g 1 , g 2 ∈ G {\displaystyle g_{1},g_{2}\in {G}}

và tương tự cho các trường hợp khác. Cách tiếp cận này súc tích hơn mà cũng trừu tượng hơn. Từ quan điểm này:

  • 1 biểu diễn của 1 nhóm G trên 1 không gian vectơ V là 1 phép đồng cấu nhóm Φ : G ↦ G L ( V , F ) {\displaystyle \Phi :G\mapsto GL(V,{\bf {{F})}}} ,[11]
  • 1 biểu diễn của 1 đại số kết hợp A trên không gian vectơ V là 1 phép đồng cấu đại số Φ : A ↦ E n d F ( V ) {\displaystyle \Phi :A\mapsto End_{\bf {F}}(V)} ,[11]
  • 1 biểu diễn của 1 đại số Lie a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} trên không gian vectơ V là 1 phép đồng cấu đại số Lie Φ : a ↦ g l ( V , F ) {\displaystyle \Phi :{\mathfrak {a}}\mapsto gl(V,{\bf {{F})}}} .

Thuật ngữ

Không gian vectơ V được gọi là không gian biển diễn của Φ {\displaystyle \Phi } và chiều (nếu hữu hạn) được gọi là chiều của biểu diễn (đôi khi gọi là bậc[3]). V cũng thường được quy ước là biểu diễn của chính nó trong trường hợp phép đồng cấu Φ {\displaystyle \Phi } tường minh trong ngữ cảnh; nếu không ký hiệu (V, Φ {\displaystyle \Phi } ) sẽ được dùng để chỉ rõ 1 biểu diễn.

Khi V có hữu hạn chiều n, 1 bộ cơ sở có thể được chọn cho V để đồng nhất V với Fn, do đó thu được 1 biểu diễn ma trận có các phần tử trong trường F.

Một biểu diễn trung thực một biểu diễn (V, Φ {\displaystyle \Phi } ) sao cho phép đồng cấu Φ {\displaystyle \Phi } là đơn ánh.

Ánh xạ đẳng biến và phép đẳng cấu

Xét V và W là các không gian vectơ trên trường F, lần lượt với biểu diễn Φ {\displaystyle \Phi } và Ψ {\displaystyle \Psi } của nhóm G, thì 1 ánh xạ đẳng biến từ V đến W là 1 ánh xạ tuyến tính α : V ↦ W {\displaystyle \alpha :V\mapsto {W}} sao cho:

α ( g ⋅ v ) = g ⋅ α ( v ) {\displaystyle \alpha (g\cdot {v})=g\cdot {\alpha (v)}}

với mọi phần tử g trong G và v trong V. Mà Φ : G ↦ G L ( V ) {\displaystyle \Phi :G\mapsto {GL(V)}} và Ψ : G ↦ G L ( W ) {\displaystyle \Psi :G\mapsto {GL(W)}} , suy ra:

α ∘ ϕ ( g ) = ψ ( g ) ∘ α {\displaystyle \alpha \circ \phi (g)=\psi (g)\circ \alpha } với mọi phần tử g trong G, đồng nghĩa với giản đồ giao hoán sau:

Các ánh xạ đẳng biến cho các biểu diễn của 1 đại số kết hợp hoặc đại số Lie cũng được định nghĩa tương tự. Xét α {\displaystyle \alpha } khả nghịch, thì α {\displaystyle \alpha } được gọi là 1 phép đẳng cấu, trong đó V và W (hay chính xác hơn là Φ {\displaystyle \Phi } và Ψ {\displaystyle \Psi } ) là biểu diễn đẳng cấu, hay còn gọi là biểu diễn tương đương. Một ánh xạ đẳng biến thường được gọi là ánh xạ đan bện của biểu diễn. Trong trường hợp nhóm G, đôi khi nó cũng được gọi là ánh-xạ-G.

Trong thực tế, biểu diễn đẳng cấu là "như nhau"; chúng cung cấp cùng một thông tin về nhóm hoặc đại số được biểu diễn. Do đó, lý thuyết biểu diễn phân loại biểu diễn theo sự đẳng cấu.

Biểu diễn con, không gian thương, và biểu diễn tối giản

Xét (V, Ψ {\displaystyle \Psi } ) là 1 biểu diễn của nhóm G, và W là không gian con tuyến tính của V bảo toàn dưới tác dụng của G sao cho g ⋅ w ∈ W {\displaystyle g\cdot {w}\in {W}} với mọi w ∈ W {\displaystyle w\in {W}} (còn gọi là ổn định dưới G[3]), khi đó W được gọi là biểu diễn con: bằng cách định nghĩa Φ ( g ) {\displaystyle \Phi (g)} là chế hạn của của Ψ ( g ) {\displaystyle \Psi (g)} đối với W, (W, Φ {\displaystyle \Phi } ) là 1 biểu diễn của G và ánh xạ bao hàm của W vào trong V là 1 ánh xạ đẳng biến. Không gian thương V / W {\displaystyle V/W} cũng có thể đóng vai trò là biểu diễn của nhóm G.

Xét V có chính xác 2 biểu diễn con, là không gian tầm thường con {0} và chính V, khi đó biểu diễn của V được gọi là tối giản; nếu V có biểu diễn phi tầm thường con cố hữu, biểu diễn của V được gọi là khả quy (rút gọn được).[20]

Định nghĩa của biểu diễn tối giản đã bao hàm cả bổ đề Schur: 1 ánh xạ đẳng biến α : V ↦ W {\displaystyle \alpha :V\mapsto {W}} giữa các biểu diễn tối giản chỉ có thể là ánh xạ không hoặc 1 phép đẳng cấu, do hạch (kernel) và ảnh (image) của nó đều là biểu diễn con. Cụ thể thông qua định nghĩa, khi V = W {\displaystyle V=W} , phép tự đồng cấu đẳng biến của V tạo thành 1 đại số chia kết hợp trên trường F. Xét F là trường đóng đại số, phép tự đồng cấu đẳng biến duy nhất của 1 biểu diễn tối giản là phép nhân vô hướng của phần tử đơn vị.

Biểu diễn tối giản là nền tảng của lý thuyết biểu diễn: xét 1 biểu diễn V không tối giản, khi đó V được cấu tạo từ những biểu diễn con và 1 không gian thương "đơn giản hơn" (theo 1 mức độ nào đó); chẳng hạn, xét V hữu hạn chiều, khi đó cả biểu diễn con lẫn không gian thương sẽ có số chiều nhỏ hơn.

Tổng trực tiếp và mô-đun không khải triển được

Xét (V, Φ {\displaystyle \Phi } ) và (W, Ψ {\displaystyle \Psi } ) là các biểu diễn của nhóm G, tổng trực tiếp của V và W cũng là 1 biểu diễn được viết dưới dạng chính tắc qua phương trình:

g ⋅ ( v , w ) = ( g ⋅ v , g ⋅ w ) {\displaystyle g\cdot (v,w)=(g\cdot {v},g\cdot {w})}

Tổng trực tiếp của 2 biểu diễn không mang nhiều thông tin về nhóm hơn từng biểu diễn riêng lẻ. Nếu 1 biểu diễn là tổng trực tiếp của 2 biểu diễn phi tầm thường con cố hữu, nó được coi là khai triển được. Nếu không thì nó được coi là không khai triển được.

Tính khả quy đầy đủ

Trong 1 số trường hợp nhất định, mỗi biểu diễn hữu hạn chiều là 1 tổng trực tiếp của những biểu diễn tối giản: các biểu diễn như vậy được gọi là nửa đơn giản (semisimple). Trong trường hợp đó, chỉ cần biết thông tin về biểu diễn tối giản là đủ. Những ví dụ về hiện tượng "khả quy đầy đủ" bao gồm các nhóm hữu hạn và nhóm compact, và các đại số Lie nửa đơn giản.

Trong trường hợp không khả quy đầy đủ, cần phải biết làm cách nào mô-đun không khai triển được được xây dựng từ biểu diễn tối giản thông qua mở rộng 1 không gian thương bằng 1 biểu diễn con.

Tích tenxơ của biểu diễn

Giả sử Φ 1 : G ↦ ( V 1 ) {\displaystyle \Phi _{1}:G\mapsto (V_{1})} và Φ 2 : G ↦ ( V 2 ) {\displaystyle \Phi _{2}:G\mapsto (V_{2})} là biểu diễn của nhóm G. Khi đó ta có thể suy ra 1 biểu diễn Φ 1 ⊗ Φ 2 {\displaystyle \Phi _{1}\otimes \Phi _{2}} của G tác dụng lên không gian tích tenxơ là 1 không gian vectơ V 1 ⊗ V 2 {\displaystyle V_{1}\otimes {V_{2}}} như sau:[21]

( Φ 1 ⊗ Φ 2 ) ( g ) = Φ 1 ( g ) ⊗ Φ 2 ( g ) {\displaystyle (\Phi _{1}\otimes \Phi _{2})(g)=\Phi _{1}(g)\otimes \Phi _{2}(g)}

Nếu Φ 1 {\displaystyle \Phi _{1}} và Φ 2 {\displaystyle \Phi _{2}} là các biểu diễn của 1 đại số Lie, công thức sẽ trở thành:[21]

( Φ 1 ⊗ Φ 2 ) ( A ) = Φ 1 ( A ) ⊗ I + I ⊗ Φ 2 ( A ) {\displaystyle (\Phi _{1}\otimes \Phi _{2})(A)=\Phi _{1}(A)\otimes {I}+I\otimes \Phi _{2}(A)}

Một cách tổng quát, tích tenxơ của biểu diễn tối giản thì không tối giản; các phương pháp khai triển 1 tích tenxơ thành tổng trực tiếp của các biểu diễn tối giản thuộc về lý thuyết Clebsch-Gordan.

Trong lý thuyết biểu diễn của nhóm SU(2) (hoặc tương ứng với đại số Lie phức hoá s l ( 2 ; C ) {\displaystyle sl(2;\mathbb {C} )} của nó), khai triển này là dễ.[21] Các biểu diễn tối giản được đánh dấu bằng 1 tham số l {\displaystyle l} nguyên hoặc bán nguyên; khi đó biểu diễn có số chiều bằng 2 l + 1 {\displaystyle 2l+1} . Giả sử ta lấy tích tenxơ của 2 biểu diễn có tham số là l 1 {\displaystyle l_{1}} và l 2 {\displaystyle l_{2}} , giả thiết l 1 ⩾ l 2 {\displaystyle l_{1}\geqslant {l_{2}}} . Khi đó tích tenxơ khai triển thành tổng trực tiếp của mỗi biểu diễn được đánh dấu l {\displaystyle l} , với l {\displaystyle l} trong khoảng từ l 1 − l 2 {\displaystyle l_{1}-l_{2}} đến l 1 + l 2 {\displaystyle l_{1}+l_{2}} và số gia là 1. Ví dụ, xét l 1 = l 2 = 1 {\displaystyle l_{1}=l_{2}=1} , khi đó các giá trị của l {\displaystyle l} là 0, 1, và 2. Suy ra, biểu diễn tích tenxơ có số chiều 3 × 3 = 9 {\displaystyle 3\times {3}=9} khai triển thành tổng trực tiếp có số chiều tương ứng 1 + 3 + 5 = 9 {\displaystyle 1+3+5=9} chiều, trong đó 1 biểu diễn 1-chiều ( l = 0 ) {\displaystyle (l=0)} ( m l = { 0 } ) {\displaystyle (m_{l}=\{0\})} , 1 biểu diễn 3-chiều ( l = 1 ) {\displaystyle (l=1)} ( m l = { − 1 ; 0 ; 1 } ) {\displaystyle (m_{l}=\{-1;0;1\})} , và 1 biểu diễn 5-chiều ( l = 2 ) {\displaystyle (l=2)} ( m l = { − 2 ; − 1 ; 0 ; 1 ; 2 } ) {\displaystyle (m_{l}=\{-2;-1;0;1;2\})} .